Χαος στην επιστήμη

Στην επιστήμη το χάος χρησιμοποιείται για να περιγράψει την συμπεριφορά συστημάτων με εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές τους συνθήκες. Η ανεξέλεγκτη, απειροελάχιστη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες εκδηλώνεται ως χάος-αταξία, αδυναμία πρόβλεψης σε μια κατά τα άλλα αναμενόμενη τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία.

Τα σύστημα αυτά, οδηγούνται από έναν "ελκυστή", σε μία κατάσταση που παρουσιάζει μεν μια σταθερότητα στην συμπεριφορά της όμως η πρόβλεψη της είναι αδύνατον να εκφραστεί με αιώνιους νόμους ή ντερμινιστικά.

Φράκταλ: η γεωμετρία της θεωρίας του χάους

Ο όρος fractal πλάσθηκε από μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος που οι διαστάσεις που χρειάζεται για να αναπαρασταθεί δεν είναι ακέραιος αριθμός και αναπαριστά συναρτήσεις από τα μαθηματικά του χάους. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από τους καθηγητές Στ. Πνευματικό και Ι. Νίκολη.

Οι υπολογιστές έδωσαν την δυνατότητα να αναπαρασταθούν γραφικά συναρτήσεις και παράξενοι ελκυστές που συναντά κανείς στα μαθηματικά της επιστήμης του χάους. Η πολυπλοκότητα των γραφικών αυτών αναπαραστάσεων απαιτεί σημαντική υπολογιστική ισχύ, παρόλο που τα προγράμματα είναι σχετικά απλά αφού βασίζονται στην επαναληπτικότητα των αλγορίθμων.

Συνήθως όταν ακούμε σχέδια ή σχήματα που προέρχονται από μαθηματικές συναρτήσεις έρχονται στο μυαλό μας κάποια ευκλείδεια γεωμετρικά σχήματα. Τα fractals διαφέρουν από αυτά τα σχήματα τον κύκλο, την έλλειψη το τετράγωνο κλπ. Η λέξη εικόνα σε αντίθεση με την λέξη σχήμα με αυτή την έννοια είναι μάλλον πιο κατάλληλη για να προσδιορίσει τις γραφικές αυτές αναπαραστάσεις.

Αυτοομοιότητα

Ένα χαρακτηριστικό τους ότι είναι όμοια προς εαυτόν. Έτσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγεθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ. Αυτή τους η ιδιότητα ονομάζεται αυτοομοιότητα. Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη των ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και είναι δυνατόν να συνεχιστεί απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει με το αρχικό σχήμα.

Οι fractal εικόνες οπότε είναι ανεξάρτητες από κλίμακα μεγέθους. Αντίθετα με τα ευκλείδεια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.

Χαρακτηριστικό απλό παράδειγμα είναι η νιφάδα του Koch:

Ξεκινώντας από ένα ισόπλευρο τρίγωνο και αντικαθιστώντας κατόπιν διαδοχικά τις πλευρές του με πλευρές που περιέχουν μια ισόπλευρη ακμή όπως στο σχήμα, δημιουργούμε διαδοχικά τα αστέρια αυτά που μοιάζουν με χιονονιφάδα. Κάθε καινούρια «νιφάδα» που δημιουργείται έχει όλο και μεγαλύτερη περίμετρο αλλά περικλείει πεπερασμένο εμβαδόν που είναι πάντα μικρότερο από του περιγεγραμμένου κύκλου. Παρατηρούμε επίσης την αυτοομοιότητα σε μια πολύ πρωτογενή της μορφή μέσα στους κόκκινους κύκλους. Τελικά μετά από άπειρα βήματα θα είναι η περίμετρος του σχήματος άπειρη, και το εμβαδόν που περικλέιεται ακόμη πεπερασμένο!

Χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση-fractal:D.

Παραμένει σταθερό ανεξάρτητα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με έναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.

Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με την περίμετρο τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4 οπότε D= log4/log3=1 ,26.

Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3).... δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.

Εφαρμογές fractals

Πολύ συχνά σχήματα από την φύση μπορούν να αναπαρασταθούν με fractal που παράγονται από υπολογιστή.

Η γεωμετρία fractal με τις έννοιες τής αυτοομοιότητας και τής μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά.

Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθούν προβλήματα που σχετίζονται με την διαταραχή της ροής των ρευστών στα όρια επαφής με τα τοιχώματα όπου γίνεται τυρβώδης με συμπεριφορά ανεξέλεγκτη.
Η γεωμετρία fractal συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου αλγόριθμοι fractal σχεδιάζουν σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλαδιών δέντρων αλλά και σκηνές πολύπλοκες με τυχαία και ακανόνιστη κίνηση μεγάλων ομάδων αντικειμένων.

Θεωρητικοί του Χάους

Αμερικανός μετεωρολόγος ο Edward Lorenz, Ασχολήθηκε με ζητήματα καιρικών προγνώσεων. Όταν πέρασε στις αναπαραστάσεις των μαθηματικών εξισώσεων που χρησιμοποιούσε βρέθηκε μπροστά σε μία μορφή που έμοιαζε με καρναβαλίστικη μάσκα του ντόμινο βλέπε εικόνα σελ.5. Κατάλαβε ότι υπήρχε μια κρυμμένη δομή μέσα στο χάος. Μια τάξη στην οποία υπάκουαν τα σύννεφα και οι άνεμοι.

Η δομή αυτή, η «παράξενη έλξη» προέρχεται από το γεγονός ότι η συμπεριφορά των συστημάτων του καιρού, των κυμάτων κλπ δεν είναι απολύτως τυχαία, αλλά συγκεκριμένα οροθετημένη. Είναι δηλαδή ένα χάος ελεγχόμενο - μια παράξενη κατάσταση ανάμεσα στο προβλεπόμενο και το τυχαίο.

Ο Ιλιά Πριγκοζίν από τους πιο σημαντικούς σύγχρονους επιστήμονες (χημικός – μαθηματικός) οδηγήθηκε σε αντίστοιχα συμπεράσματα. Διαπίστωσε ότι οι ζωντανοί οργανισμοί βρίσκουν εν τέλει τάξη και νόμο, ζώντας εξαιτίας και μέσα σε ένα κόσμο που τρεκλίζει. Διατύπωσε ότι αυτή η τάξη προκύπτει από χημικά συστήματα ανισόρροπα και πολύπλοκα - δηλαδή χαοτικά.

Ισχυρίστηκε ακόμη ότι οι αλαζονικές κλασικές επιστήμες καταρρίπτονται (το ωρολογιακό σύμπαν του Νεύτωνα, η έννοια της αντιστρεψιμότητας, η γραμμική συμπεριφορά των συστημάτων) κι ότι ασήμαντες επιδράσεις, που οι επιστήμονες ως τώρα θεωρούσαν αμελητέες, μπορεί να εισχωρήσουν στο εσωτερικό των συστημάτων προκαλώντας, γιγαντιαίες αλλαγές, την ώρα που γιγαντιαίες δυνάμεις μπορεί ν' αφήνουν τα συστήματα ανέπαφα.

Το φτερούγισμα μιας πεταλούδας στην Αθήνα μπορεί λοιπόν να προκαλέσει καταιγίδα στο Τόκιο - αλλά το θέμα δεν είναι αυτό. Είναι ότι με τις νέες θεωρίες, ο άνθρωπος φτάνει στο σημείο να συνειδητοποιήσει ότι η έννοια του ελέγχου με την επιβολή ισχύος είναι ψευδαίσθηση. Η εντύπωση ότι η φύση ελέγχεται μέσω δύναμης είναι μια πλάνη. Η καθοδήγηση των μαζών; Η στάση-πράξη του ενός μπορεί να είναι αίτιο πρόκλησης παράξενου ελκυσμού;

Τώρα όλα μπορούν να ειδωθούν ως χάος. Χάνονται και ξαναβρίσκονται καινούρια. Η πορεία του κόσμου δεν είναι μια προβλέψιμη κίνηση, αλλά μια τεθλασμένη γραμμή που διαρκώς λυγίζει από το τυχαίο και δεν μπορεί ποτέ να γυρίσει προς τα ασφαλή μετόπισθεν. Είναι ένα ποτάμι χωρίς επιστροφή. Ο Ηράκλειτος επιβεβαιώνεται επιστημονικά σε βάθος.

Η μεταφορά της θεωρίας του χάους απαιτεί μεγάλη προσοχή. Δεν είναι πανάκεια που θεωρεί αυταπόδεικτη κάθε έλλειψη τάξης ούτε και λειτουργεί ηθικολογικά εναντίων του ελέγχου. Τουναντίον, η θεωρία του χάους έχει φτιαχτεί για να επιτευχθεί ακόμη μεγαλύτερος έλεγχος πάνω σε κάθε λογής συστήματα. Κατάφερε όμως να μας εξελίξει συνειδησιακά. Μας έδωσε την δυνατότητα να αντιληφθούμε με επιστημονικό τρόπο την ροϊκότητα των πραγμάτων και να συνειδητοποιήσουμε την σημαντικότητα των μικρών τοπικών επιρροών σε καθολικά συστήματα. Έτσι κάθε μικρή δράση αποκτά μεγάλη σημασία και μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι η ευθύνη περνά σε μεγαλύτερο βαθμό στην ατομική πράξη από ότι φανταζόμασταν παλαιότερα.

Κοντά στη θεωρία του χάους στέκει η θεωρία των καταστροφών του Rene Thom. Αυτή ψάχνει μια μαθηματική νομοτέλεια που κρύβεται πολλές φορές πίσω από κάθε βιολογική αλλαγή. Σκοπός, να εξηγήσει τις ξαφνικές αστάθειες σε σχετικά σταθερά συστήματα. Το γιατί π.χ. συμβαίνουν σεισμοί, ή γιατί αλλάζει το σχήμα ενός σύννεφου.

Η λέξη καταστροφή, δεν είναι κυριολεκτική. Μιλάει για εκείνη την απειροελάχιστη στιγμή όπου όλα παίζονται κι η αλλαγή συντελείται.

Ο Thom παρατήρησε κάτι που βρίσκουμε στην Ηρακλείτεια φιλοσοφία. Η εξέλιξη του κόσμου γίνεται μέσα από τις αλλαγές της μορφής. Μόνο που η διαδοχή αυτών των μορφών χαρακτηρίζεται από ασυνέχεια, από φάσεις δηλαδή όπου η αλλαγή συντελείται απότομα. Οι συνεχιστές της θεωρίας αυτής την γενίκευσαν σε ό,τι κινείται και παρουσιάζει ταυτόχρονα απότομες αλλαγές. Π.χ. στην γέννηση των βιολογικών μορφών (κύτταρα), στις κοινωνικές αλλαγές- επαναστάσεις, σε στασιασμούς κρατουμένων, στην πτώση καθεστώτων, ακόμη και ψυχολογικές συμπεριφορές που εμφανίζουν απότομες ψυχολογικές κρίσεις και μεταπτώσεις. Στην θεωρία αυτή όλα γίνονται αντικείμενο μελέτης με μαθηματικά εργαλεία.

Ιδρυτής της θεωρίας του χάους θεωρείται ο Γάλλος μαθηματικός της ΙΒΜ Μπενουά Μαντελμπρό. Αυτός εφεύρε πριν 25 χρόνια την μορφοκλασματική γεωμετρία (Fractal geometry), η οποία δίπλα στις καθαρές και συγκεκριμένες γραμμές της ευκλείδειας γεωμετρίας, εισάγει την έννοια της κλασματικής διάστασης που μας επιτρέπει να μετρήσουμε την αταξία, και το ακανόνιστο ενός αντικειμένου.

Είναι μια γεωμετρία, που μπορεί να αναπαραστήσει τις ατέλειωτες αντιθέσεις και στρεβλώσεις των φυσικών μορφών (της πλαγιάς ενός ηφαιστείου, του φύλλου μιας φτέρης, του πνεύμονα ενός εμβρύου κοκ) στην οθόνη ενός υπολογιστή.

Η πιο γνωστή εφαρμογή της μορφοκλασματικής γεωμετρίας έγινε από τον ίδιο. Ονομάζεται Mandelbrot Set και είναι μια μορφοκλασματική εικόνα που δημιουργείται σε υπολογιστή. Όσο κι αν μεγεθυνθεί, τόσο πιο σύνθετα και ψυχεδελικά σύμπαντα θα αποκαλύπτεί, το ίδιο άτακτα όπως η αρχική εικόνα, το ίδιο ανεξάντλητα εξίσου όμορφα.

Η θεωρία του χάους δεν είναι απλή. Στρέφει την επιστήμη σε ένα καινούριο δρόμο, πιο συμφιλιωμένο με την πραγματικότητα και συμφιλιώνει τον άνθρωπο με τον μέσα και έξω του Κόσμο καθιστώντας τον μια πιο υπεύθυνη οντότητα.

Γιατί και η καρδιά είναι ένα χαοτικό σύστημα. Χτυπάει ανεξέλεγκτα, τυφλά - κι όμως υπακούει κι αυτή σε ένα μαθηματικό νόμο.

Ποιον; Το νόμο του χάους. Τη γνώση της ελεγχόμενης αταξίας : Τη γνώση ότι το μάταιο σκόρπισμα, το διαρκές ξέφτισμα της ζωής δεν είναι εν τέλει τόσο μάταιο, ούτε και τόσο εντροπικό. Όλα λοιπόν υπακούνε σε μια τάξη ίσως μια κρυφή τάξη για τα μάτια του αμύητου.